જો intlimits_0^1 frac{ln x}{sqrt{1 - x^2}} dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ લેતા,$dx = \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x 	o 0, 	heta 	o

Vedclass · Accepted Answer

$1/2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ લેતા,$dx = \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x 	o 0, 	heta 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o 1, 	heta 	o \pi/2$. $I = \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$. હવે જમણી બાજુ $(RHS)$ ધ્યાનમાં લો: $J = \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$. ગુણધર્મ $\int\limits_0^a f(x) dx = \int\limits_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos x) dx$. $2J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos^2 x) dx = \int\limits_0^\pi \ln(\sin^2 x) dx = 2 \int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx$. કારણ કે $\int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx = 2 \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = -\pi \ln 2$,તેથી $2J = 2(-\pi \ln 2) = -2\pi \ln 2$,એટલે કે $J = -\pi \ln 2$. $I = kJ$ ને સરખાવતા,$-\frac{\pi}{2} \ln 2 = k(-\pi \ln 2)$,જે આપણને $k = 1/2$ આપે છે.

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx = $ . . . . . . .

$\int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx =$

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}}$

જો $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ હોય, તો $M-N$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}) e^x+(\sqrt{|x|-x}) e^{-x}}{e^x+e^{-x}} d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module